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{答案}16

{解析}本题考查了几何体的三视图，解题的关键是具有较好的空间想象能力.当至少剩下9个小立方块时新几何体与原正方体的表面积相等，故最多可以取走27-9＝16个小立方块，因此本题答案为16．

{分值}3

{章节:[1-29-2]三视图}

{考点:简单组合体的三视图}

{类别:高度原创}

{类别:易错题}

{难度:5-高难度}

{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共小题，合计分．

{题目}15．（2019年青岛）已知： ∠α，直线 l 及 l 上两点 A， B．

求作： Rt△ABC ，使点 C 在直线 l 的上方，且∠ABC＝90°， ∠BAC＝∠α．

{解析}本题考查了尺规作图，掌握用尺规作一个角等于已知角，过直线上一点作这条直线的垂线是解题的关键.如图，在直线l上方作∠BAD＝∠α，过点B作直线EF⊥l，交BD于点C，则△ABC即为所求.

……4分

{答案}解：

{分值}4

{章节:[1-13-1-2]垂直平分线}

{难度:2-简单}

{类别:常考题}

{考点:与全等有关的作图问题}

{考点:与垂直平分线有关的作图}

{题目}16（1）．（2019年青岛）化简：；

{解析}本题考查了分式的混合运算，按照先计算括号内的加法，再计算除法进行运算．

{答案}解：原式＝＝＝

＝＝.

{分值}4

{章节:[1-15-2-2]分式的加减}

{难度:2-简单}

{类别:常考题}

{考点:分式的混合运算}

{题目}16（2）．（2019年青岛）解不等式组，并写出它的正整数解．

{解析}本题考查了不等组的解法和不等式组的整数解，解不等式组的步骤为：先解出不等式组中每个不等式的解集，然后在数轴上分别表示出两个解集，找出公共部分，得出不等式组的解集．

{答案}解：解不等式1－x≤，得x≥－1；

解不等式3x－1＜8，得x＜3；

∴不等式组的解集为－1≤x＜3.

∴不等式组的正整数解为x＝1,2.

{分值}4

{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}

{难度:2-简单}

{类别:常考题}

{考点:解一元一次不等式组}

{考点:一元一次不等式组的整数解}

{题目}17．（2019年青岛）小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字 1， 2， 3， 4 的 4 个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于 2，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．

{解析}本题考查了概率的求法，先列表或画树状图表示出所有可能的情形，进而求出小明胜和小刚胜的概率；再根据“如果两人获胜的概率相等，那么游戏对双方公平，否则不公平”作出判断.．

{答案}解：列表表示所有可能的结果为：

第2个数字差的绝对值第1个数字	1	2	3	4
1	0	1	2	3
2	1	0	1	2
3	2	1	0	1
4	4	2	1	0

由上表可知，共有16种等可能的结果，其中两次数字差的绝对值小于 2的结果有10种，∴P（小明获胜）＝，P（小明获胜）＝.

∵P（小明获胜）≠P（小明获胜），∴这个游戏对两人不公平.

{分值}6

{章节:[1-25-2]用列举法求概率}

{难度:2-简单}

{类别:常考题}

{考点:绝对值的意义}

{考点:两步事件放回}

{考点:游戏的公平性}

{题目}18．（2019年青岛）为了解学生每天的睡眠情况，某初中学校从全校 800 名学生中随机抽取了 40 名学生，调查了他们平均每天的睡眠时间（单位： h），统计结果如下：

9，8，10.5，7，9，8，10，9.5，8，9，9.5，7.5，9.5，9，8.5，7.5，10，9.5，8，9，

7，9.5，8.5，9，7，9，9，7.5，8.5，8.5，9，8，7.5，9.5，10，9.5，8.5，9，8，9.

在对这些数据整理后，绘制了如下的统计图表：

睡眠时间分组统计表睡眠时间分布情况

组别	睡眠时间分组	人数（频数）
1	7≤t＜8	m
2	8≤t＜9	11
3	9≤t＜10	n
4	10≤t＜11	4

请根据以上信息，解答下列问题：

（1） m＝， n＝， a＝， b＝；

（2）抽取的这 40 名学生平均每天睡眠时间的中位数落在组（填组别）；

（3）如果按照学校要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于 9 h，请估计该校学生中睡

眠时间符合要求的人数．

{解析}本题是一道统计综合题，考察了频数分布表、扇形统计图、中位数及用样本估计总体．（1）根据统计结果可知，睡眠时间在7≤t＜8范围的内有7人，故m＝7，∴n＝40-7-11-4＝18，a＝×100%＝17.5%，b＝×100%＝45%.（2）因为共有40个数据，所以中位数等于第20个数据和第21个数据的平均数.由统计表可知第20个数据和第21个数据都在第3组内，故中位数落在第3组.（3）利用样本去估计总体中睡眠时间符合要求的人数所占百分比.

{答案}解：（1）7 18 17.5% 45%；

（2）3；

（3）在抽取的这40名学生中平均每天的睡眠时间应不少于 9 h的学生人数所占百分比为45%＋10%＝55%，由此估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数约为800×55%＝440（人）.

{分值}6

{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}

{难度:2-简单}

{类别:常考题}

{考点:扇形统计图}

{考点:频数（率）分布表}

{考点:用样本估计总体}

{考点:频数与频率}

{考点:中位数}

{题目}19．（2019年青岛）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道 AB ，栈道 AB 与景区道路CD 平行．在 C 处测得栈道一端 A 位于北偏西 42° 方向，在 D 处测得栈道另一端 B 位于北偏西 32°方向．已知 CD＝120 m ， BD＝80 m ，求木栈道 AB 的长度（结果保留整数）．

（参考数据：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈，sin42°≈，cos42°≈，tan42°≈）

{解析}本题考查了解直角三角形的实际应用，做辅助线构造直角三角形是解题的关键．如图，过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB，交AB的延长线于点F，则四边形CDFE是矩形.在Rt△BDF中求出BF和DF的长，进而得到EB的长；在Rt△Rt△ACE中求出AE的长，进而根据AB＝AE＋EB求解.

{答案}解：如图，过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB，交AB的延长线于点F，∴CE∥DF.∵AB∥CD，∴四边形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝120，CE＝DF.

在Rt△BDF中，∵∠BDF＝32°，BD＝80，∴BF＝80·sin32°＝80×＝42.5，DF＝80·cos32°＝80×＝68.∴EB＝EF－BF＝120－42.5＝77.5.

在Rt△ACE中，∵CE＝DF＝68，∠ACE＝42°，∴AE＝68·tan42°＝68×＝61.2.∴AB＝AE＋EB＝61.2＋77.5≈139. 答：木栈道 AB 的长度约为139m.

{分值}6

{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}

{难度:3-中等难度}

{类别:常考题}

{考点:矩形的性质}

{考点:解直角三角形－方位角}

{题目}20．（2019年青岛）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的 1.5 倍，两人各加工 600 个这种零件，甲比乙少用 5 天．

（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？

（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是 150 元和 120 元，现有 3000 个

这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完

成．如果总加工费不超过 7800 元，那么甲至少加工了多少天？

{解析}本题考查了列方程解决实际问题和列不等式解决实际问题，找出问题中的等量关系和不等关系是解题的关键．（1）根据“乙加工600个零件的时间－甲加工600个零件的时间＝5”列分式方程求解，不要遗漏检验；（2）根据“甲的加工费＋乙的加工费≤7800”列不等式求解.

{答案}解：解：（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，根据题意，得

，

解这个方程，得x＝40.

经检验，x＝40是原分式方程的根.

1.5x＝1.5×40＝60.

答：甲每天加工60个零件，乙每天加工40个零件.

（2）设甲加工了x天，根据题意，得

150x＋≤7800，

解这个不等式，得x≥40.

答：甲至少加工了40天.

{分值}8

{章节:[1-15-3]分式方程}

{难度:3-中等难度}

{类别:常考题}

{考点:分式方程的应用（工程问题）}

{考点:一元一次不等式的应用}

{题目}21．（2019年青岛）如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG＝AE ，连接 CG ．

（1）求证： △ABE≌△CDF ；

（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.

{解析}本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定等知识，掌握以上图形的性质和判定方法是解题的关键．（1）根据平行四边形的性质可得到AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，根据中点的定义可得到BE＝DF，进而根据SAS证得△ABE≌△CDF.（2）由△ABE≌△CDF可得到AE＝CF＝EG， AG∥CF，从而得到四边形EGCF是平行四边形.假设平行四边形 EGCF 是矩形，从而可得AE⊥BO，又有BE＝EO，则AB＝AO＝AC，即当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形.

{答案}解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD.

∴∠ABE＝∠CDF.

∵点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，∴BE＝DF.

∴△ABE≌△CDF.

（2）当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形.

∵△ABE≌△CDF，

∴AE＝CF，∠BAE＝∠DCF.

∵EG＝AE，∴EG＝CF.

∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，

∴∠GAC＝∠FCA，∴AG∥CF，

∴四边形EGCF是平行四边形.

∵AC＝2AB，AC＝2AO，

∴AB＝AO.

∵点E是BO的中点，

∴AE⊥BO，∴∠GEF＝90°，

∴□EGCF是矩形.

{分值}10

{章节:[1-18-2-1]矩形}

{难度:4-较高难度}

{类别:发现探究}

{考点:平行四边形边的性质}

{考点:全等三角形的判定SAS}

{考点:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形}

{考点:矩形的判定}

{题目}22．（2019年青岛）某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.

（1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；

（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使

销售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？

（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多

少件？

{解析}本题是一道综合考查一次函数和二次函数的实际应用题，理解各个数量之间的关系是解题的关键．（1）利用待定系数法求y与x之间的函数关系式；（2）由题意，得30≤x≤50，根据“每天获得的利润＝每件利润×每天销售量”求出w与x的函数关系，结合x的取值范围求w的最大值；（3）由题意，得w≥800.由w＝800时x的值得到w≥800时x的取值范围，再结合y与x之间的函数关系式确定y的最小值.

{答案}解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将（30,100）（45,70）代入上式，得，解得∴y与x之间的函数关系式为y＝-2x＋160.

（2）根据题意，得w＝y（x-30）＝（-2x＋160）（x-30）＝-2x2＋220x-4800＝-2（x-55）2＋1250.

∴当x≤55时，w随x的增大而增大.

∵30≤x≤50，∴当x＝50时，y最大值＝1200.

答：销售单价定为50元/件时，才能使销售该商品每天获得的利润 w（元）最大，最大利润是1200元.

（3）将w＝800代入w＝-2（x-55）2＋1250，得x1＝40,x2＝70.

∴当40≤x≤70时，w≥800.

对于y＝-2x＋160， y随x的增大而减小，故当x＝70时，y最小值＝20.

答：若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为20件.

{分值}10

{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}

{难度:4-较高难度}

{类别:常考题}

{考点:一次函数的图象}

{考点:商品利润问题}

{考点:待定系数法求一次函数的解析式}

{题目}23．（2019年青岛）问题提出：

如图，图①是一张由三个边长为 1 的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张 a b 的

方格纸（a b的方格纸指边长分别为 a，b 的矩形，被分成 a b个边长为 1 的小正方形，其中 a≥2 ， b≥2，且 a，b 为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，

最后得出一般性的结论．

探究一：

把图①放置在 2 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的

放置方法？

如图③，对于 22的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有 4 种不同的放

置方法．

探究二：

把图①放置在 32的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的

放置方法？

如图④，在 32的方格纸中，共可以找到 2 个位置不同的 2 2  方格，依据探究一的结论

可知，把图①放置在 32 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 2  4＝8种

不同的放置方法．

探究三：

把图①放置在 a  2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的

放置方法？

如图⑤，在 a  2 的方格纸中，共可以找到_________个位置不同的 22方格，依据探究

一的结论可知，把图①放置在 a  2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有

_________种不同的放置方法．

探究四：

把图①放置在 a  3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的

放置方法？

如图⑥，在 a  3 的方格纸中，共可以找到_________个位置不同的 2 2方格，依据探究

一的结论可知，把图①放置在 a  3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有

_________种不同的放置方法．

……

问题解决：

把图①放置在 a  b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的

放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）

问题拓展：

如图，图⑦是一个由 4 个棱长为 1 的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分

别为 a，b ，c （a≥2 ， b≥2 ， c≥2 ，且 a，b，c 是正整数）的长方体，被分成了 a b c

个棱长为 1 的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到_________个图⑦这样的几何体．

{解析}本题是一道规律探究题，理解探究一、二是正确解答后面问题的前提．探究三：如图⑤，在 a×2 的方格纸中，共可以找到（a－1）个位置不同的 2×2方格；依据探究一的结论可知图①在每个2×2的方格中有4种不同的放置方法，所以把图①放置在 a×2 的方格纸中，共有（a－1）×4种不同的放置方法.

探究四：在 a×3 的方格纸中，共可以找到（a－1）×（3－1）个位置不同的 2×2方格；依据探究一的结论可知图①在每个2×2的方格中有4种不同的放置方法，所以把图①放置在 a×3的方格纸中，共有（a－1）×（3－1）×4种不同的放置方法.

问题解决：在 a×b的方格纸中，共可以找到（a－1）×（b－1）个位置不同的 2×2方格；依据探究一的结论可知图①在每个2×2的方格中有4种不同的放置方法，所以把图①放置在 a×b的方格纸中，共有（a－1）×（b－1）×4种不同的放置方法.

问题拓展：在 a×b×c的几何体中，共可以找到（a－1）×（b－1）×（c－1）个位置不同的2×2×2的正方体；而图⑦在每个2×2×2的正方体中有8种不同的放置方法，所以把图⑦放置在 a×b×c的几何体中，共有（a－1）×（b－1）×（c－1）×8种不同的放置方法.

{答案}解：探究三：a－1 4a－4；

探究四：2（a－1）,8a－8；

问题解决：4（a－1）（b－1）；

问题拓展：8（a－1）（b－1）（c－1）.

{分值}10

{章节:[1-29-2]三视图}

{难度:5-高难度}

{类别:思想方法}

{类别:高度原创}

{类别:发现探究}

{考点:规律－图形变化类}

{题目}24．（2019年青岛）已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB∥CD， ACB＝90°， AB＝10cm， BC＝8cm， OD 垂

直平分 A C．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P作 PE⊥AB，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QF∥AC，分别交 AD， OD 于点 F， G．连接 OP，

EG．设运动时间为 t ( s )（0＜t＜5），解答下列问题：

（1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？

（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm2) ，求 S 与 t 的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出

t 的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接 OE， OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE⊥OQ？若存在，求出

t 的值；若不存在，请说明理由．

{解析}本题是一道与动点有关的压轴题，综合考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、角平分线的性质、二次函数等知识，难度较大．（1）当点E在∠BAC的平分线上时，有PE＝EC.故将PE和EC用含t的代数式表示出来即可列方程求出t的值.（2）四边形PEGO是一般四边形，故不能直接求其面积，根据S四边形PEGO＝ S△ABC＋ S△OCD―S△AOP―S△BPE―S梯形GDCE求解即可.（3）利用（2）中所求二次函数关系式求解.（4）假设存在某一时刻t，使得OE⊥OQ.此时有△OCE∽△△OQG,进而根据相似三角形对应边成比例列出关于t的方程求解.